2.3 混叠¶
坦白说，之前介绍的几个波形，都是我刻意挑选的，避免了比较的复杂的波形和频谱给大家带来困惑。
但是，接下来我会介绍一些比较复杂的情况。
图2.5 显示了一个1100Hz的三角信号在10KHz采样率下的频谱。右图是左图的放大后的图像，这样可以看的更清楚。
图2.5：显示了一个1100Hz的三角信号在10KHz采样率下的频谱。右图是左图的放大后的图像
这个信号的谐波应该在3300Hz，5500Hz，7700Hz和9900Hz。图中可以看到我们期望的1100Hz和3300Hz的频率，
但是第三个峰值的频率是在4500Hz而不是5500Hz，第四个峰值的频率是在2300Hz而不是7700Hz，下一个峰值的频率
是100Hz而不是9900Hz，这是怎么回事呢？
造成这个情况的原因是，在计算整个信号的波形的过程中，实际上是在采样点在对信号进行了离散化的处理，因此
在连续信号的各个采样点之间会丢失掉一些信息。对于低频的信号丢失的信息不多，因为同样的采样率下，频率低
的信号在一个周期内可以有更多的采样点。
但是如果你用10000Hz的采样率来采集5000Hz的信号，一个信号周期内就仅有两个采样点了。实际上两个采样点是足够的，
但是如果信号的频率再高一点，一个周期内采样点小于两个，那么就会产生问题了。
为了解释这个现象，让我们来看两个余弦信号（4500Hz和5500Hz），我们使用10000Hz的采样率来计算他们的波形:
framerate = 10000
signal = thinkdsp.CosSignal(4500)
duration = signal.period*5
segment = signal.make_wave(duration, framerate=framerate)
segment.plot()
signal = thinkdsp.CosSignal(5500)
segment = signal.make_wave(duration, framerate=framerate)
segment.plot()
图2.6 中灰色的线是信号本身，而蓝色的竖线是采样后的信号。对比这两个图，可以发现，
两个不同的信号却产生了相同的采样值。
图2.6：10000Hz采样率下的4500Hz和5500Hz的余弦信号波形图
事实上，当我们用10000Hz采样率对5500Hz信号进行采样的时候，其结果与4500Hz的信号是相同的。
正是因为这样，7700Hz的信号和2300Hz的信号，9900Hz的信号和100Hz的信号在采样后也是相同的。
信号采样后产生的这种现象，我们就称为 混叠（aliasing） ，简单来说，就是高频信号采样后的与
某些特定的低频信号是无法区分出来的。
在这个例子中（10000Hz采样率），我们最高可以采集的频率为5000Hz，也就是采样率的一半，高于5000Hz的
频率成分会被折叠到5000Hz以内，因此我们把这个频率叫做折叠频率（floding frequence），
又称为 奈奎斯特频率（Nyquist frequency） 。参见 http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_frequency 。
我们可以这样来计算折叠后的频率：如果信号的频率大于采样率，通过对信号频率与采样率相除求余，来得到在0到采样率之间
的频率，然后如果这个频率大于折叠频率，则用采样率减去这个频率，最后就得到了折叠后的结果。 例如，之前波形的第五个
谐波频率是12100Hz，求余后为2100Hz，就是折叠后的频率了。你也可以从 图2.4 上看到这个2100Hz的频率。同样，也可以
看到4300Hz的频率（14300Hz，折叠后为4300Hz）。